SEMANA 7 DEL 27 DE JUNIO AL 01 DE JULIO: Cardinalidad

El concepto de cardinalidad

Para comprender un poco más las relaciones entre los conjuntos de números, será importante referirnos al concepto de cardinalidad,  que tiene que ver con la "cantidad" de elementos de un conjunto infinito. Podríamos decir que el concepto de cardinalidad es una extensión del concepto de cantidad para conjuntos finitos.

Para saber si dos conjuntos finitos A y B, tienen la misma cantidad de elementos, bastaría hacer corresponder cada uno de los elementos de A con cada uno de los de B y si no sobra ningún elemento, se concluye que si tienen la misma cantidad de elementos.

Este método, consiste matemáticamente en establecer una relación biyectiva (uno a uno y sobre) entre A y B, el cual se puede extender a conjuntos infinitos, de la siguiente manera:

Definición

Dos conjuntos infinitos A y B, tienen la misma cardinalidad si entre ellos se puede establecer una relación biyectiva.

Notación

Denotaremos por #(A) la cardinalidad del conjunto A.

El todo no siempre es mayor que las partes

Dando clic en Proposición r1, verás la demostración de que: Los impares positivos tienen la misma cardinalidad que los Naturales.

Dando clic en Proposición r2, verás la demostración de que: Los pares positivos tienen la misma cardinalidad que los Naturales.

Así, no obstante que los naturales impares y los naturales pares son subconjuntos propios de los naturales, tenemos que: .

Una importante reflexión

Un subconjunto puede tener la misma cardinalidad del conjunto que lo contiene, pero nunca mayor, ¿Puedes explicarlo?. Así, podemos entender que: . Más adelante haremos ver que la igualdad no puede ser.

Los Naturales y los Enteros tienen la misma Cardinalidad: 

Dando clic en Proposición r3, verás su demostración.

Los Enteros y los Racionales tienen la misma Cardinalidad: 

Dando clic en Proposición r4, verás la ilustración de la relación biyectiva entre los Naturales y los racionales positivos (por las proposiciones anteriores con eso basta). El método consiste en ir relacionando los naturales con los racionales en forma diagonal.

La cardinalidad de los Racionales es menor que la Cardinalidad de los Reales: 

Basta demostrar que no es posible establecer una relación sobre entre los naturales y los reales del intervalo [0,1].

Daremos dos demostraciones.
Dando clic en Proposición r5, verás la primera demostración.

Para la segunda demostración partiremos del siguiente resultado que llamaremos:

R1.- La intersección de intervalos cerrados anidados y no vacíos, es no vacía.
Da clic en su enunciado para ver la idea de su demostración.

Dando clic en Proposición r6, verás la segunda demostración.

Observaciones muy importantes

Los naturales, los enteros y los racionales por tener la misma cardinalidad, se dice que son conjuntos numerables.
Cualquier subconjunto infinito de los naturales tiene la cardinalidad de los naturales.
Todo conjunto numerable tiene la misma cardinalidad que los naturales.
Los irracionales y por tanto los reales, son conjuntos no numerables.